FUNCIONES
El
término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés
René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios
aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más
generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.
Lejeune-Dirichlet (1805-1859). Su estudio tiene aplicaciones importantes en:
Transacciones financieras, Crecimiento Poblacional, Desintegración Radioactiva
y Medicina (tratamiento de cultivos)
Una
función ƒ de A en B expresa un enunciado, una regla de
asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí, una relación que hace
corresponder, según una regla de formación (forma algebraica), a cada elemento
x ε A uno y solo un elemento y ε B, llamado imagen de x por ƒ, que se
escribe y= ƒ (x). En símbolos, ƒ:
A → B
Es
decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe
cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A (Dominio) debe tener imagen (Rango o Codominio). La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es
decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
El
conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento
del dominio (pre imágenes), se denomina conjunto imagen o recorrido de ƒ.
Tanto
Dominio como Rango se trabajan en una Tabla de Valores reales, donde a la
variable X se le denomina variable independiente
y a la variable Y se le denomina variable dependiente.
En
forma gráfica, también se puede identificar si una relación es función; cuando
toda recta paralela al eje Y que corta la gráfica, lo hace en un solo punto.
Recordemos que: “Toda
Función es una Relación, pero no toda Relación es una Función”.
Función Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva:
Una
función f es inyectiva (uno a uno) si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva o
suryectiva si
para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del
dominio por lo menos.
Una función f (del conjunto A al B)
es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x)
= y. Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y
sobreyectiva.
Estudio de las Funciones:
a) Continuidad y discontinuidad: Una función ƒ
es continua si su gráfica no presenta interrupción en todo su recorrido; es
decir, si no tiene saltos ni se rompe. Una función ƒ es discontinua si tiene puntos en los cuales una
pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente.
b) Crecimiento y decrecimiento: Constituyen propiedades locales, que se estudian
por intervalos. Sea una función ƒ y
dos valores, a y b, de un intervalo Ι perteneciente a su dominio, tal que a < b, su representación gráfica puede ser
creciente, decreciente o constante (lineal). Una función ƒ tiene en x =a un máximo cuando en ese punto pasa a ser creciente a decreciente.
Cuando sucede lo inverso, se dice que tiene un mínimo.
c) Función par e impar: Una función ƒ es
par si y sólo si ƒ (x) = ƒ
(-x) y es impar si ƒ (x) = - ƒ
(-x). Una función par es simétrica con respecto al eje Y, y una función impar
es simétrica con respecto al origen.
d) Periodicidad: Una función
ƒ es
periódica, de período T (con T >=),
si ƒ
(x) = ƒ (x + z . T) para todo X en el dominio de ƒ. Quiere decir que conocido el valor de una función
periódica es un intervalo de período T, se puede construir el resto de la
gráfica trasladándola hacia derecha e izquierda, por todo el dominio de la
función.
Función Inversa
O recíproca de f a otra función f-1 que
cumple que: Si f(a) = b, entonces f-1(b) = a.
La notación f-1 se
refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números
reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa. Cuando existe, es única. La inversa de una
función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva
siempre existe. Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto
a la función identidad y = x.
Función Exponencial
Propiedades de f(x) = ax, a>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
4) Si a > 1 (a, base), entonces ax aumenta
conforme aumenta x.
5) Si 0 < a < 1, entonces ax disminuye
conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.
Función
Logarítmica
Son del tipo f(x) = loga(x) donde "a" es constante
(un número) y se denomina la base del logaritmo. Donde la base (a) debe
ser un número positivo (al igual que la base de la potencia de una función
exponencial) y además no debe ser 1 ya que log1(a) en general no existe. Las características generales de
las funciones logarítmicas son:
1) El
dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:
Dom(f) = (0. + ∞) .
2) Su
recorrido es R: Im(f) = R .
3) Son funciones continuas.
4) Como loga1 = 0, la función siempre pasa por el punto (1, 0).
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
5) Como logaa = 1, la función siempre pasa por el punto (a, 1).
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son convexas si a > 1.
Son cóncavas si 0 < a < 1.
8) El eje Y es una asíntota vertical.
·
Si a > 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞
Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞
·
Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞
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